اعداد مختلط در ریاضی — به زبان ساده

چهارشنبه, ۴ مرداد ۱۴۰۲، ۰۸:۲۶ ق.ظ

اعداد مختلط دسته ویژه‌ای از اعداد هستند که از ترکیب یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی به دست می‌آیند. در مبحث معادله درجه دو عنوان شد که در دلتای منفی پاسخی برای معادله وجود ندارد. این گذاره با این فرض بیان شد که با اعداد مختلط آشنا نبودیم. اما بایستی گفت در این حالت نیز معادله پاسخ دارد ولی این پاسخ، عددی مختلط است. برای این که با این اعداد آشنا باشید، باید با اعداد حقیقی و همچنین اعداد موهومی قبلاً آشنا شده باشید. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس& این دو دسته از اعداد را مختصراً توضیح می‌دهیم:

اعداد حقیقی: تقریباً هر عددی که به ذهن‌تان برسد یک عدد حقیقی است. به طور خلاصه اعداد حقیقی شامل اعداد صحیح، اعداد گویا و اعداد گنگ هستند. در ادامه مثال‌هایی از اعداد حقیقی ارائه شده است:

1 , 12.38 , -0.8625 , 3/4 , √2 , 1998

اعداد موهومی دسته ویژه‌ای از اعداد هستند چون اگر این اعداد را به توان 2 برسانیم، برخلاف اعداد صحیح ، حاصل توان یک عدد منفی خواهد بود.

باید توجه داشته باشید که این اتفاق در حالت عادی رخ نمی‌دهد، چون در مورد اعداد حقیقی قاعده‌های زیر برقرار هستند:

هنگامی که یک عدد مثبت را به توان 2 می‌رسانیم، پاسخ مثبت می‌گیریم، و
هنگامی که یک عدد منفی را به توان 2 برسانیم، باز هم یک عدد مثبت به دست می‌آوریم، چون ضرب منفی در منفی، مثبت می شود.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

اما باید فرض کنیم که چنین عددی (عدد موهومی) داریم، چون به آن نیاز خواهیم داشت. کمترین واحد برای اعداد موهومی (مانند 1 برای اعداد حقیقی) برابر i است، که همان جذر عدد 1- است.

اعداد مختلط

زیرا وقتی i را به توان برسانیم، عدد 1- را به دست می‌آوریم. نمونه هایی از اعداد موهومی شامل موارد زیر هستند:

3i , 1.04i , −2.8i , 3i/4 , (√2)i , 1998i

دلیل این که در همه اعداد موهومی نماد i استفاده می‌شود، این است که به خاطر بسپاریم باید عدد را در 1-√ ضرب کنیم. اینک که با اعداد موهومی نیز آشنا شدیم نوبت به اعدداد مختلط می‌رسد.

اعداد مختلط

عدد مختلط، ترکیبی از یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی است.

اعداد مختلط

در ادامه چند عدد مختلط را به عنوان مثال ارائه کرده‌ایم:

1 + i , 39 + 3i , 0.8 - 2.2i , -2 + πi , √2 + i/2

آیا ممکن است یک عدد ترکیبی از دو عدد دیگر باشد؟

پاسخ سوال فوق مثبت است. این همان کاری است که همواره در مورد کسرها انجام می‌دهیم.

فیلم آموزش توابع مختلط Complex Functions در فرادرس

کلیک کنید

برای مثال کسر 3/8 یک عدد تشکیل شده از 3 و 8 است. می دانیم که این عدد به معنی «سه تا از هشت تکه برابر» است.

بنابراین به خاطر بسپارید که یک عدد مختلط، صرفاً ترکیب عادی دو عدد است، به طوری که یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی با هم ترکیب می‌شوند.

هر یک از دو عدد تشکیل دهنده عدد مختلط می‌توانند صفر باشد

تا اینجا متوجه شدیم که یک عدد مختلط یک قسمت حقیقی و یک قسمت موهومی دارد. اما هر قسمت از این عدد مختلط می‌تواند برابر با 0 باشد، پس تمامی اعداد حقیقی و موهومی به تنهایی نیز می‌توانند عدد مختلط باشند.

برای این که درک بهتری از اعداد مختلط داشته باشیم در ادامه مفهوم صفحه مختلط را معرفی می‌کنیم.

صفحه مختلط

اعداد مختلط را می‌توانیم روی صفحه مختلط نشان دهیم. صفحه مختلط دو محور دارد که بخش موهومی عدد مختلط روی محور عمودی و بخش حقیقی آن وی محور افقی نمایش می‌یابد.

قسمت حقیقی عدد به چپ و راست می رود
قسمت موهومی نیز به بالا یا پایین می رود

مثال: عدد مختلط 4 + 3 به صورت زیر نمایش می‌یابد.

جمع

برای جمع دو عدد مختلط، هر عضو را جداگانه باهم جمع می کنیم:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

فیلم آموزش ریاضیات مهندسی – حل سوالات کنکور ارشد و دکتری در فرادرس

کلیک کنید

مثال:

(3 + 2i) + (1 + 7i)

= 3 + 1 + (2 + 7)i

= (4 + 9i)

به عنوان یک مثال دیگر سعی می‌کنیم دو عدد مختلط زیر را با هم جمع کنیم:

(3 + 5i) + (4 − 3i)

= 3 + 4 + (5 − 3)i

= 7 + 2i

جمع فوق را بر روی صفحه اعداد مختلط به صورت زیر می‌توان نمایش داد:

ضرب

برای ضرب اعداد مختلط، هر بخش از یک عدد مختلط، در هر دو بخش عدد مختلط دیگر ضرب می شود. دقیقاً همانند ضرب دو جمله‌ای، باید هر جمله عدد مختلط اول در همه جملات عدد مختلط دوم ضرب شود.

جمله‌های اول: a × c
جمله‌های بیرونی: a × di
جمله‌های داخلی: bi × c
جمله‌های آخر: bi × di

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2

مثال:

(3 + 2i)(1 + 7i)

(3 + 2i)(1 + 7i) = 3 × 1 + 3 × 7i + 2i × 1+ 2i × 7i

= 3 + 21i + 2i + 14i2

= 3 + 21i + 2i - 14 (منفی یک است i چون مجذور)

= -11 + 23i

و یک مثال دیگر:

(1 + i)2

(1 + i)2 = (1 + i)(1 + i) = 1×1 + 1×i + 1×i + i2

= 1 + 2i - 1 (منفی یک است i چون مجذور)

= 0 + 2i

راه حل سریعتری هم هست

از این قاعده استفاده کنید:

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

مثال:

(3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1)i = -11 + 23i

این قاعده چگونه عمل می‌کند؟

این همان روش ضرب دو جمله‌ای است که کمی تغییر یافته است:

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2 ضرب دو جمله ای

= ac + adi + bci - bd منفی یک است i چون مجذور

= (ac - bd) + (ad + bc)i پس از دسته بندی

و بدین ترتیب الگوی زیر به دست می آید:

(ac − bd) + (ad + bc)i

این قاعده قطعاً سریع‌تر است؛ اما اگر آن را فراموش کردید کافی است روش ضرب دو جمله‌ای را به خاطر بیاورید.

استفاده از i2

برای سرگرمی از این روش برای محاسبه i2 استفاده کنیم. می‌دانیم که i را می‌توان با یک قسمت حقیقی و یک قسمت موهومی به صورت زیر تعریف کرد:

0 + i

بنابراین

i2 = (0 + i)2 = (0 + i)(0 + i)
= (0×0 - 1×1) + (0×1 + 1×0)i
= -1 + 0i
= -1

و این محاسبه به طور کامل تعریف را که 1- = i2 می‌داند، تایید می‌کند.

مزدوج عدد مختلط

مزدوج عدد مختلط به عددی گفته می‌شود که علامت بین دو بخش عدد مختلط، معکوس شده باشد. به شکل زیر توجه کنید:

معمولاً برای نشان دادن مزدوج بودن یک عدد، خطی روی آن رسم می‌شود:

مثال:

اعداد مختلط

تقسیم

از مزدوج عدد مختلط برای تقسیم این اعداد استفاده می‌شود. کافی است تقسیم را ابتدا به صوت کسری بنویسیم و سپس صورت و مخرج این کسر را در کسری که صورت و مخرج آن مزدوح مخرج کسر اول است ضرب نماییم.

مثال: تقسیم را انجام دهید.